集合上下限及举例

集合序列的上下极限及举例

一、集合序列上下极限的定义

上极限

集合序列 {An}\{A_n\}{An​} 的上极限，记为 lim‾⁡n→∞An\varlimsup_{n \to \infty} A_nlimn→∞​An​，定义为：

lim‾⁡n→∞An=⋂k=1∞⋃n=k∞An

\varlimsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n

n→∞lim​An​=k=1⋂∞​n=k⋃∞​An​

从元素的角度来理解，x∈lim‾⁡n→∞Anx \in \varlimsup_{n \to \infty} A_nx∈limn→∞​An​ 当且仅当 xxx 属于无穷多个 AnA_nAn​。

下极限

集合序列 {An}\{A_n\}{An​} 的下极限，记为 lim‾⁡n→∞An\varliminf_{n \to \infty} A_nlim​n→∞​An​，定义为：

lim‾⁡n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An

\varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n

n→∞lim​​An​=k=1⋃∞​n=k⋂∞​An​

这意味着 x∈lim‾⁡n→∞Anx \in \varliminf_{n \to \infty} A_nx∈lim​n→∞​An​ 当且仅当存在某个 kkk，使得对于所有 n≥kn \geq kn≥k，都有 x∈Anx \in A_nx∈An​。

二、举例

例 1

设集合序列 AnA_nAn​ 的定义为：

An={{0,1},n为奇数{1,2},n为偶数

A_n =

\begin{cases}

\{0, 1\}, & n 为奇数 \\

\{1, 2\}, & n 为偶数

\end{cases}

An​={{0,1},{1,2},​n为奇数n为偶数​

上极限

对于任意的 kkk，⋃n=k∞An={0,1,2}\bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \{0, 1, 2\}⋃n=k∞​An​={0,1,2}。所以：

lim‾⁡n→∞An=⋂k=1∞⋃n=k∞An={0,1,2}

\varlimsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \{0, 1, 2\}

n→∞lim​An​=k=1⋂∞​n=k⋃∞​An​={0,1,2}

这是因为 000、111、222 都属于无穷多个 AnA_nAn​。

下极限

当 k=1k = 1k=1 时，⋂n=1∞An=∅\bigcap_{n = 1}^{\infty} A_n = \varnothing⋂n=1∞​An​=∅；当 k=2k = 2k=2 时，⋂n=2∞An={1}\bigcap_{n = 2}^{\infty} A_n = \{1\}⋂n=2∞​An​={1}。随着 kkk 取更大的值，⋂n=k∞An\bigcap_{n = k}^{\infty} A_n⋂n=k∞​An​ 要么是空集，要么是 {1}\{1\}{1}。所以：

lim‾⁡n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An={1}

\varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{1\}

n→∞lim​​An​=k=1⋃∞​n=k⋂∞​An​={1}

因为只有 111 从某个 kkk 之后的所有 AnA_nAn​ 都包含。

例 2

设 An=[0,1+1n]A_n = \left[0, 1 + \frac{1}{n}\right]An​=[0,1+n1​]，n=1,2,⋯n = 1, 2, \cdotsn=1,2,⋯

上极限

对于任意 kkk，⋃n=k∞An=[0,1+1k]\bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \left[0, 1 + \frac{1}{k}\right]⋃n=k∞​An​=[0,1+k1​]。所以：

lim‾⁡n→∞An=⋂k=1∞⋃n=k∞An=⋂k=1∞[0,1+1k]=[0,1]

\varlimsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \left[0, 1 + \frac{1}{k}\right] = [0, 1]

n→∞lim​An​=k=1⋂∞​n=k⋃∞​An​=k=1⋂∞​[0,1+k1​]=[0,1]

下极限

对于任意 kkk，⋂n=k∞An=[0,1+1k]\bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \left[0, 1 + \frac{1}{k}\right]⋂n=k∞​An​=[0,1+k1​]。所以：

lim‾⁡n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An=⋃k=1∞[0,1+1k]=[0,1]

\varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \left[0, 1 + \frac{1}{k}\right] = [0, 1]

n→∞lim​​An​=k=1⋃∞​n=k⋂∞​An​=k=1⋃∞​[0,1+k1​]=[0,1]

在这个例子中，集合序列的上极限和下极限相等。

例 3

设集合序列 AnA_nAn​ 的定义为：

An={[0,n],n为奇数[0,1n],n为偶数

A_n =

\begin{cases}

[0, n], & n 为奇数 \\

\left[0, \frac{1}{n}\right], & n 为偶数

\end{cases}

An​={[0,n],[0,n1​],​n为奇数n为偶数​

上极限

对于任意 kkk，当 kkk 为奇数时，⋃n=k∞An=[0,+∞)\bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = [0, +\infty)⋃n=k∞​An​=[0,+∞)；当 kkk 为偶数时，⋃n=k∞An=[0,1k]∪[k+1,+∞)\bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = \left[0, \frac{1}{k}\right] \cup [k + 1, +\infty)⋃n=k∞​An​=[0,k1​]∪[k+1,+∞)。所以：

lim‾⁡n→∞An=⋂k=1∞⋃n=k∞An=[0,+∞)

\varlimsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \bigcup_{n = k}^{\infty} A_n = [0, +\infty)

n→∞lim​An​=k=1⋂∞​n=k⋃∞​An​=[0,+∞)

下极限

当 kkk 为奇数时，⋂n=k∞An={0}\bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{0\}⋂n=k∞​An​={0}；当 kkk 为偶数时，⋂n=k∞An={0}\bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{0\}⋂n=k∞​An​={0}。所以：

lim‾⁡n→∞An=⋃k=1∞⋂n=k∞An={0}

\varliminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{k = 1}^{\infty} \bigcap_{n = k}^{\infty} A_n = \{0\}

n→∞lim​​An​=k=1⋃∞​n=k⋂∞​An​={0}