三角函数计算器

什么是三角函数计算器？

三角学是数学中将三角形的角与其各边长度联系起来的分支。三角函数计算器接收一个角度，并返回为其定义的六个三角函数：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割。你可以用度或弧度输入角度，计算器会为你完成换算。

这六个函数描述的比值在给定角度下保持不变，无论三角形是大是小。这正是它们如此强大的原因：一旦角度已知，比值就被固定下来，并出现在各处，从测量和导航到物理学、信号处理和计算机图形学。

关键概念

角度 (θ) — 输入的角度，以度（一整圈为 360°）或弧度（一整圈为 2π2\pi2π）度量。

正弦和余弦 — 两个基本函数；在单位圆上，cos⁡θ\cos\thetacosθ 是角度 θ 处点的 x 坐标，sin⁡θ\sin\thetasinθ 是 y 坐标。

正切 — 比值 sin⁡θ/cos⁡θ\sin\theta / \cos\thetasinθ/cosθ，等于角度 θ 处半径直线的斜率。

倒数函数 — 余切、正割和余割分别是正切、余弦和正弦的倒数。

计算器如何工作？

设想一个以原点为圆心、半径为 1 的圆——单位圆。圆上角度 θ 处的点（从正 x 轴沿逆时针方向度量）的坐标为 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)(cosθ,sinθ)。每个三角函数都由这两个坐标构成。

公式

两个主要函数就是单位圆上点的坐标：

sin⁡θ=y,cos⁡θ=x\sin\theta = y, \qquad \cos\theta = xsinθ=y,cosθ=x

其余四个函数是它们的比值和倒数：

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}tanθ=cosθsinθ​,cotθ=sinθcosθ​

sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \qquad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}secθ=cosθ1​,cscθ=sinθ1​

由于除以零没有定义，某些函数在特定角度处没有值。正切和正割在 cos⁡θ=0\cos\theta = 0cosθ=0 处（例如 90° 和 270°）无定义，而余切和余割在 sin⁡θ=0\sin\theta = 0sinθ=0 处（例如 0° 和 180°）无定义。计算器会将这些输出留空。

计算示例

示例 1：角度为 30°

在 30° 处，数值是精确且广为人知的：

sin⁡30°=0.5,cos⁡30°≈0.866025,tan⁡30°≈0.577350\sin 30° = 0.5, \quad \cos 30° \approx 0.866025, \quad \tan 30° \approx 0.577350sin30°=0.5,cos30°≈0.866025,tan30°≈0.577350

cot⁡30°≈1.732051,sec⁡30°≈1.154701,csc⁡30°=2\cot 30° \approx 1.732051, \quad \sec 30° \approx 1.154701, \quad \csc 30° = 2cot30°≈1.732051,sec30°≈1.154701,csc30°=2

示例 2：角度为 45°

在 45° 处，正弦和余弦相等，因此正切和余切都为 1：

sin⁡45°=cos⁡45°≈0.707107,tan⁡45°=cot⁡45°=1,sec⁡45°=csc⁡45°≈1.414214\sin 45° = \cos 45° \approx 0.707107, \quad \tan 45° = \cot 45° = 1, \quad \sec 45° = \csc 45° \approx 1.414214sin45°=cos45°≈0.707107,tan45°=cot45°=1,sec45°=csc45°≈1.414214

示例 3：角度为 90°

在 90° 处，点位于单位圆的顶端，因此 cos⁡90°=0\cos 90° = 0cos90°=0：

sin⁡90°=1,cos⁡90°=0,cot⁡90°=0,csc⁡90°=1\sin 90° = 1, \quad \cos 90° = 0, \quad \cot 90° = 0, \quad \csc 90° = 1sin90°=1,cos90°=0,cot90°=0,csc90°=1

这里 tan⁡90°\tan 90°tan90° 和 sec⁡90°\sec 90°sec90° 无定义，因为它们要除以 cos⁡90°=0\cos 90° = 0cos90°=0。

示例 4：角度为 1 弧度

将输入单位切换为弧度并输入 1：

sin⁡1≈0.841471,cos⁡1≈0.540302,tan⁡1≈1.557408\sin 1 \approx 0.841471, \quad \cos 1 \approx 0.540302, \quad \tan 1 \approx 1.557408sin1≈0.841471,cos1≈0.540302,tan1≈1.557408

实际用途

测量与导航 — 将测得的仰角转换为高度或水平距离。

物理与工程 — 将力、速度或交流信号分解为相互垂直的分量。

计算机图形与游戏 — 旋转点、瞄准弹丸和模拟圆周运动都依赖于正弦和余弦。

天文学 — 利用相同的比值，将恒星的视角与距离联系起来。

解三角形 — 一旦你得到一个函数值，直角三角形角度计算器可帮助还原实际三角形的各个角。

注意事项

确保输入单位与你的角度相符：在弧度模式下输入 90 与 90 度是完全不同的角度。

若只需在度、弧度和百分度之间转换角度，请使用角度单位转换器。

输出为空表示该函数在该角度处无定义（除以零），而不是计算器出错。

这六个函数周期性重复，因此一个角度与该角度加上一整圈会得到完全相同的结果。

一旦你知道某个角度，就可以把它输入扇形面积计算器来确定圆形扇区的大小。