【高中数学】数列 · 通项求法
〇、At the begining
这个东西有点乱（令人抓狂），而且好像还有一些题型没有涉及，后续可能补充
一、累加法
就是形如an+1-an=f(n)的形式
解决方法 ： 化为an-an-1=f(n-1)形式，然后进行累加
Example:
已知数列{an}中，a1=0,an+1+2n-1,求an
Answer：
Add：
累加法的几种形式及常见解决方法
f(n)是一次函数，累加后转化为等差数列，求和即可
f(n)是二次函数，累加后分组求和
f(n)是指数函数，累加后转化为等比数列，求和即可
f(n)是分式函数，累加后运用列项相加法求和即可
二、累乘法
就是形如an+1=an的形式
解决方法 ： 化为an=f(n-1)an-1形式，然后进行累加
Example:
已知{an}中，a1=1,an+1=2nan,求an
三、构造法
其实就是形如an+1=p · an + f(n)的形式
基本上可以总结为三种形式，如下：
an+1 = p · an + q （p ≠\not== 1 , q ≠\not== 0）
解决方法 ： 将式子转化为an+1 + λ\lambdaλ = p · (an + λ\lambdaλ)的形式，其中λ\lambdaλ 可用待定系数法求出。非常简单
Example:
已知{an}中an+1 = 3an+2,a1 = 3，求an
Answer:
由题干，易知原式可化为：an+1 +1 = 3(an + 1)
又因为a1 = 3 ≠\not== 0
so，数列{an + 1}是首项为3，公比为3的等比数列
可知an +1 = 3n，即an = 3n +1
an+1 = p · an + qn (p ≠\not== 1 , q ≠\not== 0 or 1)
解决方法：
1.待定系数法，同上；
2.等式两边同时除以 pn+1 或 qn+1 ，做法差不多，目的是为了构造出一个等差数列方便求解
这里重点讲一下第二种做法
Give you an Example:
已知{an}满足an+1 = 2an + 4 · 3n-1，求an
解法一 (同除以qn+1) :
两边同时除以3n+1 , 得：
an+13n+1=23⋅an3n+49
\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} · \frac{a_n}{3^n} + \frac{4}{9}
3n+1an+1=32⋅3nan+94
然后就按照上面待定系数法做
解法二 (同除以pn+1):
两边同时除以2n+1 , 得：
an+12n+1=an2n+43⋅(32)n
\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \frac{4}{3} · (\frac{3}{2})^n
2n+1an+1=2nan+34⋅(23)n
接下来同上
an+2 = p · an+1 + q · an
解决方法：将an作为f(n)来解决
Example:
已知数列{an}满足an+2 = 3 an+1 - 2 an , a1 = 1 , a2 = 3 ， 求an
Answer：
设an+2 + α\alphaα · an+1 = β\betaβ(an+1 + α\alphaα · an)
则可知an+2 = (α\alphaα+β\betaβ)an+1 - α\alphaα · β\betaβ an
和已知的式子an+2 = 3 an+1 - 2 an 比较，可知：
{α=1β=2or{α=2β=1 \left\{
\begin{matrix}
\alpha=1 \\
\beta=2
\end{matrix}
\right.
or
\left\{
\begin{matrix}
\alpha=2 \\
\beta=1
\end{matrix}
\right.
{α=1β=2or{α=2β=1
取α\alphaα = 2 , β\betaβ = 1. （两种取法一样）
可知 , an+2 - 2an+1 = an+1 -2an
又因为a2 - 2a1 = 3-2 =1
所以an+1 - 2an = 1
即an+1 +1 = 2(an +1)
可知 an = 2n-1
END
如有谬误请多指教！
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